Pada mulanya
di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai
besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang
sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga,
bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu
memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa,
membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian
untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan
matematika bersama-sama. Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal
dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan
perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim.
Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki.
Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan
dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.
Awal Bilangan
Bilangan pada
awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya
setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata
yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang
sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan
keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena
bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam
dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya. Bilangan
dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya
kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri
untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :
ü Simbol
bilangan bangsa Babilonia
ü Simbol
bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM
ü Simbol
bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno
ü Simbol
bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh umat
Islam di seluruh dunia
ü Simbol
bilangan bangsa Yunani Kuno
ü Simbol
bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini:
Dalam
perkembangan selanjutnya, pada abad ke-X ditemukanlah manuskrip Spanyol yang
memuat penulisan simbol bilangan oleh bangsa Hindu-Arab Kuno dan cara penulisan
inilah yang menjadi cikal bakal penulisan simbol bilangan yang kita pakai
hingga saat ini, seperti yang tampak dalam gambar berikut:
Perkembangan Teori
Bilangan
Teori Bilangan Pada suku
Babilonia
Matematika
Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa
Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban
helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia
sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika
Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan
Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus
Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.
Bertentangan
dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia
diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak
1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah,
dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di
antaranya adalah karya rumahan.
Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun
peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak
tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel
perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan
geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga
merujuk pada periode ini.
Sebagian besar
lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600
SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan
perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan
itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan
persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang
akurat sampai lima tempat desimal.
Matematika
Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari
sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit
untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga
penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan
derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia
memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan
di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem
desimal
Teori Bilangan Pada Suku
Bangsa Mesir Kuno
Matematika
Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak
peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan
Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di
Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam,
ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.
Tulisan
matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang
disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal
dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang
lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu
adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan
rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan,
lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk
bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan
pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu,
bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde
satu juga barisan aritmetika dan geometri.
Naskah
matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman
Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal
kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.
Teori Bilangan Pada Suku
Bangsa India
Sulba Sutras
(kira-kira 800–500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan
bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar
kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode
konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan,
menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras
secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema
Pythagoras.
Kira-kira abad
ke-5 SM merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang
sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta,
transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM)
di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem
bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi
dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang
bilangan Fibonacci.
Pada sekitar
abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap
(perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime
number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square
number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan
segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga
yang terkenal sampai sekarang disebut triple
Pythagoras,
yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur
sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan
sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil
kajian yang lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan
prima dan bilangan komposit. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih
dari satu yang tidak memiliki Faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu
sendiri. Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut
bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan
prima telah menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang
berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat
digunakan untuk mencari dan membuat daftar bilangan prima.
Dengan
berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk
landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui
langkah-langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari
algoritma dikerjakan oleh Euclid.
Pada sekitar
abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori
bilangan. Buku Euclid yang ke VII memuat suatu algoritma untuk mencari Faktor
Persekutuan Terbesar dari dua bilangan bulat positif dengan menggunakan suatu
teknik atau prosedur yang efisien, melalui sejumlah langkah yang terhingga.
Kata algoritma berasal dari algorism. Pada zaman Euclid, istilah ini belum
dikenal. Kata Algorism bersumber dari nama seorang muslim dan penulis buku
terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi.
Bagian akhir dari namanya (Al-Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah
Algorism. Istilah algoritma masuk kosakata kebanyakan orang pada saat awal
revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950.
Pada abad ke 3
S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang
sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of
Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang
bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan
bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun
geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang
ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.
Teori Bilangan Pada Masa
Sejarah (Masehi)
Awal
kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665),
Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre
(1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866),
Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai
seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan
kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan
sebagai the queen of mathematics.
Pada masa ini,
teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak
diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini
dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris,
kriptografi, komputer, dan lain sebagainya
Tokoh-Tokoh Teori Bilangan
Pythagoras (582-496 SM)
Pythagoras
adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui
teoremanya. Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang
penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.
Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang
menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama
dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun
fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras,
namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali
membuktikan pengamatan ini secara matematis.
Jamshid Al-Kashi (1380
M)
Al-Kashi
terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir di sebelah utara wilayah Iran
Tengah. Selama hidupnya, al-Kashi telah menyumbangkan dan mewariskan sederet
penemuan penting bagi astronomi dan matematika. Pecahan desimal yang digunakan
oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama berabad-abad, sebenarnya merupakan
pecahan desimal yang diciptakan oleh al-Kashi. Pecahan desimal ini merupakan
salah satu karya besarnya yang memudahkan untuk menghitung aritmatika yang dia
bahas dalam karyanya yang berjudul Kunci Aritmatika yang diterbitkan pada awal
abad ke-15 di Samarkand.
Abu Ali Hasan Ibnu
Al-Haytam (965 M)
Abu Ali Hasan
Ibnu Al-Haytam lahir Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan
nama Alhazen. Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua
bilangan sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari
pembagi-pembagi sejatinya, seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1
adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah
bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p.
Pierre de Fermat
Fermat
menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin
is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak
tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus.
Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable
proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam
bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus
khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui
bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada
kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah
pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan
sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini
mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang
mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam
simbol, tidak terdapat bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat.
Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk
diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem
adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan
bulat x, y, z dengan maka jika n = pq, .
Kapankah angka nol
ditemukan?
Zero = 0 =
Empty = Kosong (Nol) Memang, kata dalam Bahasa Inggris ‘zero’ (nol) berasal
dari bahasa Arab ‘sifr’, suatu terjemahan literal dari bahasa Sanskrit “shûnya”
yang bermakna “kosong”. Runtutan keterkaitan bahasa dari masa ke masa: shûnya
(Sanskrit) -> (Ancient Egypt/Babylonia) -> (Greek/Helenic) ->
(Rome/Byzantium) – sifr (Arab) -> zero (English) -> nol; kosong
(Indonesia) Wikipedia The word “zero” comes ultimately from the Arabic “sifr”,
or “empty,” a literal translation of the Sanskrit “shûnya”. With its new use
for the concept of zero, zephyr came to mean a light breeze – “an almost
nothing” (Ifrah 2000; see References). The word zephyr survives with this
meaning in English today. The Italian mathematician Fibonacci (c.1170-1250),
who grew up in Arab North Africa and is credited with introducing the Arabic
decimal system to Europe. Around the same time, the Arab mathematician
al-Khwarizmi described the “Hindu number” system with positional notation and a
zero symbol in his book Kitab al-jabr wa’l muqabalah. Nol asalnya dari India
“shûnya” bukan cuma sebuah istilah, tapi juga konsep.
Sekitar tahun
300 SM orang babilonia telah memulai penggunaan dua buah baji miring, //, untuk
menunjukkan sebuah tempat kosong, sebuah kolom kosong pada Abakus. Simbol ini
memudahkan seseorang untuk menentukan letak sebuah symbol. Angka nol sangat
berguna dan merupakan simbol yang menggambarkan sebuah tempat kosong dalam Abakus,
sebuah kolom dengan batu-batu yang ditempatkan di dasar. Kegunaannya hanya
untuk memastikan bahwa butiran-butiran tersebut berada di tempat yang tepat,
angka nol tidak memiliki nilai numeric tersendiri.
Pada komputer
nol ini dapat merusak sistem, karena nol diartikan tidak ada. Berapapun
bilangan dikalikan dengan nol hasilnya tidak ada. Nah inilah yang membuat bingung
dalam operasi perhitungan. Perhatikan contoh ini : 0=0 ( nol sama dengan nol,
benar)
0 x3=0 x 89 (nol sama-sama dikalikan dengan sebuah bilangan, karena juga akan
bernilai nol)
(0 x 3)/0= (0 x 89)/0 (sebuah bilangan dibagi dengan bilangan yang sama, akan
bernilai satu)
3=89 (???, hasil ini yang membuat bingung). Walaupun demikian sebenarnya nol
itu hebat, jika tidak ditemukan angka nol tulisan satu juta dalam bilangan
romawi ditulis apa?? Bisa-bisa selembar kertas tidak sampai untuk hanya
memberikan symbol satu juta itu. Bisa dibayangkan jika nol tidak ada. Banyak
kekuatan yang terkandung dalam angka ini. Nol adalah perangkat paling penting
dalam matematika. Namun berkat sifat matematis dan filosofis yang aneh pada
angka nol, ia akan berbenturan dengan filsafat barat.
Angka nol
berbenturan dengan salah satu prinsip utama filsafat barat, sebuah dictum yang
akar-akarnya terhujam dalam filsafat angka Phythagoras dan nilai pentingnya
tumbuh dari paradoks Zeno. seluruh cosmos Yunani didirikan di atas pilar: tak
ada kekosongan.
Kosmos Yunani yang dis=ciptakan oleh Phytagoras, Aristoteles dan Ptolemeus
masih lama bertahan setelah keruntuhan peradaban Yunani. Dalam kosmos ini tak
ada ketiadaaan. Oleh karena itu, hampir sepanjang dua milinium orang-orang
barat tak bersedia menerima angka nol. Konsekuensinya sungguh menakutkan.
Ketiadaan angka nol menghambat perkembangan matematika, menghalangi inovasi sains
dan yang lebih berbahaya, mengacaukan sistem penanggalan.
Macam-macam bilangan
Bilangan Bulat adalah bilangan
yang terdiri atas bilangan positif, bilangan nol, dan bilangan negatif. Misal :
….-2,-1,0,1,2….
Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1(satu)
sampai tak terhingga.
Misal : 1,2,3….
Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 0 (nol)
sampai tak terhingga.
Misal : 0,1,2,3,….
Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu bilangan 1
(satu) dan bilangan itu sendiri.
Misal : 2,3,5,7,11,13,…..
(1 bukan bilangan prima, karena mempunyai satu faktor saja).
Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan
prima.
Misal ; 4,6,8,9,10,12,….
Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai suatu pembagian
antara dua bilangan bulat (berbentuk bilangan a/b, dimana a dan b merupakan
bilangan bulat).
Misal: 1/2 ,2/(3 ),3/4….
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai
pembagian dua bilangan bulat.
Misal: π, √3 , log 7 dan sebagainya.
Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan
rasional dan bilangan irrasional
Misal: 1/2 √(2 ),1/3 √5,1/4 π,2/3 log
2
dan sebagainya.
Bilangan imajiner (bilangan khayal) adalah bilangan yang ditandai dengan i,
bilangan imajiner i dinyatakan sebagai √(-1). Jadi, jika i = √(-1) maka i2= -1
Misal: √(-4)=
⋯?
√(-4)=√(4×(-1) )
= √4×√(-1)
= 2 × i
= 2i
Jadi, √(-4)=2i.
Bilangan kompleks adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan
riil dan bilangan imajiner.
Misal; π√(-1)= πi
Log √(-1)=logi
